home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Skunkware 5 / Skunkware 5.iso / man / cat.1 / endo.1 < prev    next >
Text File  |  1995-07-25  |  25KB  |  595 lines

  1.  
  2.  
  3.  
  4.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  5.  
  6.  
  7.  
  8.      NNNNAAAAMMMMEEEE
  9.           endo - display an iterated endomorphism of the plane
  10.  
  11.      SSSSYYYYNNNNOOOOPPPPSSSSIIIISSSS
  12.           _e_n_d_o [-^+01234567RUVZpquv][-S settle][-n dwell][-W width][-H
  13.                   height][-o filename] [-8 0-3][-9 0-3][-P 1-8][-
  14.                   abcdefgijklm _r ][-ABCDEFGIJKLM _r ][-w _r [ , _r , _r
  15.                   ][-h _r [ , _r , _r ][-x _r [ , _r , _r ][-y _r [ , _r , _r
  16.                   ][-t delta][-z cdelta][-N _n ][-O _n ][-X _n ][-Y _n
  17.                   ][-Q _n _n [ , _n ][-T _n ][-r _n ][-s _n ]
  18.  
  19.      DDDDEEEESSSSCCCCRRRRIIIIPPPPTTTTIIIIOOOONNNN
  20.           _e_n_d_o generates and graphically displays an iterated
  21.           endomorphism of the plane.  Endomorphisms are _i_n_t_o mappings.
  22.           Thus, each iterate (f(x,y),g(x,y)) may not have a unique
  23.           inverse, (x,y).  The basic idea is to iterate an
  24.           endomorphism of the plane (R x R).  Each point (x,y) is
  25.           mapped to (f(x,y),g(x,y)). The new point is then mapped to
  26.           (f(f(x,y),g(x,y)),g(f(x,y),g(x,y))) and so on. Each point is
  27.           then colored according to how many iterates it took to get
  28.           within some "delta" of a previous iterate (e.g. a periodic
  29.           orbit is detected). Lyapunov exponents for a region of
  30.           parameter space can be calculated and displayed in a
  31.           separate window. Phase portraits can be constructed and
  32.           histographic data displayed in a third window.  Critical
  33.           curves (curves for which the determinant of the Jacobian is
  34.           zero) and their iterates may be displayed in a fourth
  35.           window. Finally, pre-iterates of the critical curves may be
  36.           displayed in a fifth window. By varying parameter(s), the
  37.           phase portrait window can be used to display bifurcation
  38.           diagrams. The "attract velocity" window can also be used to
  39.           display basins of attraction. A variety of methods of
  40.           display and colormaps can be selected. For instance,
  41.           bifurcation diagrams can be displayed in 3 dimensions (2
  42.           spatial and one parametric), 2 spatial dimensions, 1 spatial
  43.           and 1 parametric dimension, or 2 dimensional with the 2
  44.           spatial dimensions overlayed on the y-axis while the
  45.           parametric dimension is mapped onto the x-axis. In each
  46.           case, the user can select whether to clear the window each
  47.           time a parameter is incremented.
  48.  
  49.      OOOOPPPPTTTTIIIIOOOONNNNSSSS
  50.           -^      reverses the colormap divisions (e.g. negative
  51.                   Lyapunov exponents are given the portion of the
  52.                   colormap usually reserved for positive Lyapunov
  53.                   exponents).
  54.  
  55.           -+      indicates display coordinate axes.
  56.  
  57.           -0      selects the demonstration mode.
  58.  
  59.           -1      display y coordinate bifurcation diagram only
  60.  
  61.  
  62.  
  63.      Page 1                                           (printed 3/9/94)
  64.  
  65.  
  66.  
  67.  
  68.  
  69.  
  70.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  71.  
  72.  
  73.  
  74.           -2      display x and y coordinate bifurcation diagrams
  75.  
  76.           -3      display 3-D bifurcation diagrams
  77.  
  78.           -4      display x coordinate bifurcation diagram only
  79.  
  80.           -6      selects animation drawing mode (i think bifurcation
  81.                   diagrams look best this way)
  82.  
  83.           -7      selects histogram drawing mode
  84.  
  85.           -8 _n    selects Lyapunov mode (0 indicates no Lyapunov sets
  86.                   calculated or displayed, 1 indicates display only
  87.                   bifurcation diagrams, 2 indicates calculate and
  88.                   display both bifurcation diagrams and Lyapunov
  89.                   exponents, 3 is the same as 2 but the subsequent
  90.                   initial condition is chosen to be the last point
  91.                   calculated).
  92.  
  93.           -9 _n    selects Mandelbrot mode (0 indicates no
  94.                   Mandelbrot/Julia sets calculated or displayed, 1
  95.                   indicates display Mandelbrot sets with Lyapunov
  96.                   exponents, 2 indicates calculate and display
  97.                   Mandelbrot set in black, 3 indicates display
  98.                   Mandelbrot set using rate of attraction of critical
  99.                   point).
  100.  
  101.           -n _n    Specifies the "dwell" or number of iterations over
  102.                   which to calculate and display iterate values.
  103.  
  104.           -S _n    Specifies the "settle" or number of iterations prior
  105.                   to the beginning of the calculation of exponents or
  106.                   display of the iterates.
  107.  
  108.           -H _n    Specifies the height of the window.
  109.  
  110.           -ABCDEFGIJKLM _n
  111.                   Specifies the 12 possible parameter values for the
  112.                   selected map. For instance, "-A 0.04 -B 0.056" would
  113.                   select values for the first and second parameters of
  114.                   the map.
  115.  
  116.           -abcdefgijklm _n
  117.                   Specifies the 12 possible additional parameter
  118.                   values for the North-South models. These values are
  119.                   those to be used for the North region.
  120.  
  121.           -O _n    Specifies the minimum color index to be used for
  122.                   positive exponents
  123.  
  124.           -W _n    Specifies the width of the window.
  125.  
  126.  
  127.  
  128.  
  129.      Page 2                                           (printed 3/9/94)
  130.  
  131.  
  132.  
  133.  
  134.  
  135.  
  136.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  137.  
  138.  
  139.  
  140.           -x _r [ , _r , _r ]
  141.                   Specifies the real value to use as the minimum value
  142.                   of the horizontal axis. First value is for the
  143.                   Attractor/Lyapunov window. Second (optional) value
  144.                   is for the Trajectory window. Third (optional) value
  145.                   is for the Critical Curve window. Values are a
  146.                   comma-separated list.
  147.  
  148.           -y _r [ , _r , _r ]
  149.                   Specifies the real value to use as the minimum value
  150.                   of the vertical axis. First value is for the
  151.                   Attractor/Lyapunov window. Second (optional) value
  152.                   is for the Trajectory window. Third (optional) value
  153.                   is for the Critical Curve window. Values are a
  154.                   comma-separated list.
  155.  
  156.           -P _n    Turns on critical curve detection and display. 1
  157.                   indicates display of critical curves only, 2
  158.                   indicates display of critical and precritical
  159.                   curves, 3 indicates display of precritical curves
  160.                   only, 4 indicates display of pre-images of the
  161.                   diagonal only, 5 indicates the attractors are
  162.                   symmetrically divided by the diagonal, 6 indicates
  163.                   display of pre-images of the origin, 7 indicates
  164.                   display of pre-images of the diagonal with the pre-
  165.                   iterates of the origin colored differently, 8
  166.                   indicates display of pre-iterates of the critical
  167.                   curve and the origin with the pre-iterates of the
  168.                   origin colored differently.
  169.  
  170.           -h _r [ , _r , _r ]
  171.                   Specifies the real value to be used as the range
  172.                   over which the vertical axes values vary. First
  173.                   value is for the Attractor/Lyapunov window. Second
  174.                   (optional) value is for the Trajectory window. Third
  175.                   (optional) value is for the Critical Curve window.
  176.                   Values are a comma-separated list.
  177.  
  178.           -R      Turns on selection of random initial conditions. A
  179.                   new initial condition is selected for each
  180.                   horizontal slice through parameter space when
  181.                   calculating Lyapunov exponents.
  182.  
  183.           -U _r    Specifies the real value to be used as the minimum
  184.                   x-axis of the trajectory window.
  185.  
  186.           -Q _n _n [ , _n ]
  187.                   Specifies which parameter indices to vary during
  188.                   calculation of Lyapunov exponents. For instance, "-Q
  189.                   0 2" varies parameters A and C while calculating
  190.                   Lyapunov exponents for each pair of parameter
  191.                   values. The third (optional) value specifies the
  192.  
  193.  
  194.  
  195.      Page 3                                           (printed 3/9/94)
  196.  
  197.  
  198.  
  199.  
  200.  
  201.  
  202.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  203.  
  204.  
  205.  
  206.                   method of traversing parameter space when
  207.                   constructing bifurcation diagrams. By default,
  208.                   parameters A and B are varied and the parameter
  209.                   region is traversed row by row. A value of 1
  210.                   indicates to just compute the diagonal.  A value of
  211.                   2 computes a row then a column. A value of 3
  212.                   computes a column then a row. A value of 4 says use
  213.                   a mesh and refine it until all values are
  214.                   calculated.
  215.  
  216.           -T _n    Selects between available non-linear maps of the
  217.                   plane. A value of 0 specifies the Gaertner map; a
  218.                   value of 1, the Goodwin map; a value of 2, the
  219.                   Guckenheimer map; a value of 3, the "double circle"
  220.                   map; a value of 4, the "double sine hump" map; a
  221.                   value of 5 selects a variant of the double circle
  222.                   map, while a value of 6 selects the Standard map.
  223.                   Values of 7-9 select the either the Chichilnisky
  224.                   North-South models or the Gardini figures depending
  225.                   on how the program was compiled, 10 selects the
  226.                   "rotor" map, 11 the "twist and flip" map, 12 the
  227.                   "Dorband double logistic" map, 13 the untwisted
  228.                   double logistic, 14 the Lorenz map, 15 the
  229.                   Volterra-Lotka equations, 16 the familiar Julia and
  230.                   Mandelbrot sets, and 17 the Brusselator.  There is
  231.                   no default map. If none is specified, a menu is
  232.                   displayed to select from.
  233.  
  234.           -X _r    Specifies the real value to be used as the initial x
  235.                   value of the trajectory.
  236.  
  237.           -Y _r    Specifies the real value to be used as the initial y
  238.                   value of the trajectory.
  239.  
  240.           -Z _r    Specifies the real value to be used as the minimum
  241.                   y-axis of the trajectory window.
  242.  
  243.           -o _f_i_l_e_n_a_m_e
  244.                   Specifies the output filename to be used. If the -o
  245.                   option is given, this file will automatically be
  246.                   written out at the completion of the drawing.  If it
  247.                   is not specified, a default filename of endo.out is
  248.                   used and only written if the 'F', 'T' or 'V' keys
  249.                   are pressed during a run. The 'F' key will output
  250.                   the Attractor/Lyapunov window, the 'T' key will
  251.                   output the Trajectory window, and the 'V' key will
  252.                   output the Critical Curve window.  The format of the
  253.                   output file is PPM for color and PGM for monochrom.
  254.                   The parameters used to calculate the picture are
  255.                   included as comments at the beginning of the output
  256.                   file.
  257.  
  258.  
  259.  
  260.  
  261.      Page 4                                           (printed 3/9/94)
  262.  
  263.  
  264.  
  265.  
  266.  
  267.  
  268.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  269.  
  270.  
  271.  
  272.           -p      Turns off calculation and display of phase portrait
  273.                   and bifurcation diagrams.
  274.  
  275.           -r _n    Specifies the maximum rgb value to be used. Default
  276.                   is 35000.
  277.  
  278.           -s _n    Specifies the length of the color wheel spin.
  279.  
  280.           -u      Produces a usage message.
  281.  
  282.           -v      Prints out the various values to be used and exits.
  283.  
  284.           -w _r [ , _r , _r ]
  285.                   Specifies the real value to be used as the range
  286.                   over which the horizontal values vary. First value
  287.                   is for the Attractor/Lyapunov window. Second
  288.                   (optional) value is for the Trajectory window. Third
  289.                   (optional) value is for the Critical Curve window.
  290.                   Values are a comma-separated list.
  291.  
  292.           -t _r    Specifies the real value to be used as the radius
  293.                   within which periodicity is decided (e.g. the
  294.                   distance between the current and a previous iterate
  295.                   is less than r).
  296.  
  297.           -q      Turns on attractor display (only useful when also
  298.                   detecting periodic orbits).
  299.  
  300.           -z _r    Specifies the real absolute value to be used as the
  301.                   threshold within which points are determined to be
  302.                   on the critical curve (e.g. the determinant of the
  303.                   Jacobian at that point is less than abs(r)).
  304.  
  305.  
  306.  
  307.      NNNNOOOOTTTTEEEESSSS
  308.           During display, _e_n_d_o allows interaction through either the
  309.           keyboard or the mouse. In most of the windows, pressing the
  310.           left mouse button allows you to select the area to be
  311.           investigated with the mouse. The upper left hand corner of
  312.           the desired area is the location of the cursor when the
  313.           button is pressed. The lower right hand corner is specified
  314.           by the cursor when the button is released.  During 3-D
  315.           display, pressing the middle mouse button will display the
  316.           angle values through which the viewpoint will be rotated.
  317.           Releasing the middle mouse button will rotate the viewpoint.
  318.           Pressing the right mouse button will cause the viewpoint to
  319.           be translated as the mouse is moved while the button is
  320.           down.
  321.  
  322.           The color map adjustment window allows you to alter the
  323.           color mapping function by use of the mouse or keyboard. In
  324.  
  325.  
  326.  
  327.      Page 5                                           (printed 3/9/94)
  328.  
  329.  
  330.  
  331.  
  332.  
  333.  
  334.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  335.  
  336.  
  337.  
  338.           this window, pressing the left mouse button selects the
  339.           point at which the line segments of the map will intersect.
  340.           By holding the button down and moving the mouse you can drag
  341.           this point around.  Releasing the mouse button selects the
  342.           point. Leaving the window aborts the adjustment. In this
  343.           window, the middle mouse button selects a linear mapping and
  344.           the right mouse button displays a histogram of color usage.
  345.  
  346.           No mouse interaction is possible in the help or information
  347.           windows.
  348.  
  349.  
  350.           Use of the keys
  351.  
  352.           _0_1_2_3_5_6_7_8_9<>[]{}-
  353.           +^%,./|_a_A_b_B_c_C_d_D_e_E_f_F_g_G_h_H_i_I_j_J_k_K_l_L_m_M_n_N_o_O_p_P_q_Q_r_R_s_S_t_T_u_U_V_w_W_x_X_y_Y_z_Z?
  354.  
  355.           indicates:
  356.  
  357.                (0) Zoom out, quadrupling size of selected window.
  358.                (1) Use 1-D model (only appropriate for Chichilnisky
  359.           model 1).
  360.                (2) Select one of several styles of bifurcation
  361.           diagrams.
  362.                (3) Toggle 3-D display.
  363.                (5) Pan left by half the width.
  364.                (6) Pan right by half the width.
  365.                (7) Pan down by half the height.
  366.                (8) Pan up by half the height.
  367.                (9) Zoom in to center quarter of selected window.
  368.                (<) Halve dwell value.
  369.                (>) Double dwell value.
  370.                ([) Halve settle value.
  371.                (]) Double settle value.
  372.                ({) Halve delta value.
  373.                (}) Double delta value.
  374.                (-) Halve cdelta value.
  375.                (+) Double cdelta value.
  376.                (,) Positions the viewpoint on the y-axis.
  377.                (.) Positions the viewpoint on the z-axis.
  378.                (/) Positions the viewpoint on the x-axis.
  379.                (|) Toggles display of coordinate axes.
  380.                (A) Displays the next iterate of the selected critical
  381.           arc.
  382.                (a) Toggle the attractor calculation and display.
  383.                (b or B) Toggle the display of the rate of attraction
  384.           window.
  385.                (c) Clear the trajectory popup window
  386.                (C) Toggles calculation and display of the critical
  387.           curves
  388.                (d) Go down to the next window in the zoom sequence.
  389.                (D) Flush the drawing buffers.
  390.  
  391.  
  392.  
  393.      Page 6                                           (printed 3/9/94)
  394.  
  395.  
  396.  
  397.  
  398.  
  399.  
  400.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  401.  
  402.  
  403.  
  404.                (E or e) Recalculate the indices into the color wheel
  405.           using a different method
  406.                (f) Toggles periodic orbit detection
  407.                (F) Save current attract velocity window to ouput file
  408.                (G) Recalculate and redisplay the iterates of the
  409.           critical curve
  410.                (g) Calculate and display the iterates of the selected
  411.           critical arc
  412.                (H) Toggles calculation and display of a histogram of
  413.           trajectory values
  414.                (h or ?) Display brief help message
  415.                (I) Toggle display of a parameter and map information
  416.           window.
  417.                (i) Toggle random initial condition selection.
  418.                (j) Toggle clearing of bifurcation diagram at each new
  419.           vertical parameter value.
  420.                (k) Translate the viewpoint half the distance toward
  421.           the view center.
  422.                (K) Translate the viewpoint double the distance from
  423.           the view center.
  424.                (l or L) Toggle Lyapunov exponent calculation and
  425.           display.
  426.                (m) Increment the map index, selecting the next
  427.           available map to iterate.
  428.                (M) Decrement the map index, selecting the previous map
  429.           to iterate.
  430.                (n) Toggle negative/positive Lyapunov exponent color
  431.           maps.
  432.                (o) Translate the viewpoint toward the already computed
  433.           average of points.
  434.                (O) Translate the viewpoint away from the already
  435.           computed average of points.
  436.                (P or p) Toggle the point orbit calculation and
  437.           display.
  438.                (r) Redraw the window using previously calculated rates
  439.           of attraction.
  440.                (R) Redraw the window using the newly set dwell and/or
  441.           settle values.
  442.                (s) Spin the color wheel.
  443.                (S) Display the menu of available maps for selection.
  444.                (T) Save current point trajectory window to ouput file.
  445.                (t) Select alternate critical arc (if any).
  446.                (u) Go up to the window just prior to the most recent
  447.           zoom.
  448.                (U) Go all the way up to the original window.
  449.                (V) Save current critical curve window to ouput file
  450.                (W) Use next color map.
  451.                (w) Use previous color map.
  452.                (x) Clear the rate of attraction window
  453.                (X) Delete this frame from the sequence
  454.                (z) Clear the critical curve window
  455.                (Z) Single step display of each iterate of the critical
  456.  
  457.  
  458.  
  459.      Page 7                                           (printed 3/9/94)
  460.  
  461.  
  462.  
  463.  
  464.  
  465.  
  466.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  467.  
  468.  
  469.  
  470.           curve
  471.                (Q or q) quit
  472.  
  473.  
  474.           In addition, several control keys are supported.
  475.  
  476.                <ctrl>-S will pause computation, <ctrl>-Q will resume
  477.           computation
  478.  
  479.           <ctrl>-C will toggle drawing the trajectory in the critical
  480.           curve window.
  481.  
  482.           <ctrl>-A toggles between adjusting the sea level and sky
  483.           level (minimum and maximum bounds for histographic data)
  484.  
  485.           <ctrl>-B toggles a color bar display. This bar indicates the
  486.           color indices used for histographic images.
  487.  
  488.           <ctrl>-E recalulates colors for basins of attraction
  489.  
  490.           <ctrl>-F sets the sea or sky level to 1.0
  491.  
  492.           <ctrl>-G sets the sea or sky level to 0.0
  493.  
  494.           <ctrl>-H decrements the sea or sky level
  495.  
  496.           <ctrl>-J increments the sea or sky level
  497.  
  498.           <ctrl>-K decrements the histogram algorithm index
  499.  
  500.           <ctrl>-L increments the histogram algorithm index
  501.  
  502.           <ctrl>-M halves the number of iterates of the critical curve
  503.           to be displayed
  504.  
  505.           <ctrl>-N doubles the number of iterates of the critical
  506.           curve to be displayed
  507.  
  508.           <ctrl>-T toggles display of the trajectory in the pre-
  509.           critical window
  510.  
  511.           <ctrl>-P toggles display of the trajectory in the basin
  512.           window
  513.  
  514.           <ctrl>-V toggles display of the color mapping adjustment
  515.           window
  516.  
  517.           <ctrl>-W reads a colormap from the file specified by the
  518.           Mapfile resource or, if no such resource exists,
  519.           $HOME/.endomap . The format of this file is 3 integers per
  520.           line, each in the range [0, 256] indicating red, green and
  521.           blue values.
  522.  
  523.  
  524.  
  525.      Page 8                                           (printed 3/9/94)
  526.  
  527.  
  528.  
  529.  
  530.  
  531.  
  532.      EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))               UUUUNNNNIIIIXXXX SSSSyyyysssstttteeeemmmm VVVV               EEEENNNNDDDDOOOO((((LLLLOOOOCCCCAAAALLLL))))
  533.  
  534.  
  535.  
  536.           <ctrl>-X decreases the number of divisions in the multiple
  537.           rainbow palette
  538.  
  539.           <ctrl>-Y increases the number of divisions in the multiple
  540.           rainbow palette
  541.  
  542.  
  543.  
  544.      AAAAUUUUTTTTHHHHOOOORRRRSSSS
  545.                                Ronald Joe Record
  546.                             The Santa Cruz Operation
  547.                                  P.O. Box 1900
  548.                               Santa Cruz, CA 95061
  549.                                    rr@sco.com
  550.  
  551.                                       and
  552.  
  553.                               Dr. Ralph H. Abraham
  554.                              Mathematics Department
  555.                             University of California
  556.                               Santa Cruz, CA 95064
  557.                                rha@cats.ucsc.edu
  558.  
  559.  
  560.  
  561.      AAAACCCCKKKKNNNNOOOOWWWWLLLLEEEEDDDDGGGGEEEEMMMMEEEENNNNTTTTSSSS
  562.           The series of seminars given in 1992 at UCSC led by Dr.
  563.           Ralph Abraham were the inspiration for the study of iterated
  564.           endomorphisms of the plane.  The 3-D transformation and
  565.           display routines were ported to X from routines written for
  566.           CGI by Hiram Clawson.  Techniques for calculating the
  567.           critical arcs and absorbing regions were drawn from Laura
  568.           Gardini of the Istituto di Scienze economiche, Universita'
  569.           di Urbino. Studies of various maps of the plane were used
  570.           including papers by Jon von Neumann, Graciela Chichilnisky,
  571.           John Guckenheimer, G. Oster, A. Ipaktchi, Wulf Gaertner,
  572.           Jochen Jungeilges, Ralph Abraham, B. P. Wood, A. J.
  573.           Lichtenberg, Z. You, E.J. Kostelich, J. A. Yorke, R. Brown,
  574.           L. Chua, K. Judd, A. I. Mees, K. Aihara, and M. Toyoda.
  575.  
  576.  
  577.  
  578.  
  579.  
  580.  
  581.  
  582.  
  583.  
  584.  
  585.  
  586.  
  587.  
  588.  
  589.  
  590.  
  591.      Page 9                                           (printed 3/9/94)
  592.  
  593.  
  594.  
  595.